[ Homepage ]

Complexe getallen, deel 1:

In deze tekst gaan we onze vertrouwde verzameling van de reële getallen uitbreiden tot een grotere verzameling van getallen die we complexe getallen noemen.

Er bestaan vele teksten waarin de complexe getallen worden geïntroduceerd. Dit is mijn versie. Ik heb geprobeerd het verhaal zo volledig mogelijk te maken. Omdat het scrollen van de grote pagina wat traag verliep, heb ik het stuk in tweeën gesplitst.

Inleiding

Vroeger, toen we op de lagere school zaten, leerden we hoe we moesten optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. We kregen sommetjes als 2 + 6 = ... en 25 : 5 = ... voorgeschoteld. We maakten toen in feite kennis met de natuurlijke getallen, dus met de verzameling , al werd dat toen nog niet in die bewoordingen gezegd. Ieder tweetal getallen in kan zonder problemen worden opgeteld of vermenigvuldigd; het resultaat zit weer in . We hebben inmiddels ervaren dat dat niet voor aftrekken geldt: we kunnen 3 - 7 niet uitvoeren als we in werken, of beter gezegd, de vergelijking x + 7 = 3 heeft geen oplossing in . Dit wordt opgelost door een nieuw soort getallen in te voeren: de negatieve getallen en daarnaast het getal 0. De verzameling wordt uitgebreid tot de verzameling der gehele getallen . Deze verzameling is gesloten onder optelling, aftrekking en vermenigvuldiging. Maar als we gehele getallen gaan delen ontstaan weer problemen: 3x = 12 is oplosbaar in (zelfs in ), maar 12x = 3 niet. Wederom is de oplossing dat we nieuwe getallen invoeren: de breuken. wordt met deze getallen uitgebreid tot , de verzameling van de rationale getallen. Het lijkt nu dat we de hele "getallenlijn" opgevuld hebben. Toch is dit niet het geval. De vergelijking x2 = 2 bijvoorbeeld, heeft geen oplossing die als een breuk geschreven kan worden (zie ook " is irrationaal" op de pagina bewijzen). We zullen weer de getallenverzameling moeten uitbreiden en wel met de irrationale getallen (waaronder ook , en e). Na al deze uitbreidingen krijgen we uiteindelijk de verzameling van de reële getallen: . Met deze getallen hebben we tot dusver gewerkt.

Helaas is ook niet groot genoeg om voor elke vergelijking een oplossing te bevatten: de vergelijking x2 = -2 heeft nog steeds geen oplossing. De vraag rijst: kunnen we uitbreiden tot een nog grotere verzameling zodat we ook aan dit soort vergelijkingen een oplossing kunnen toekennen? En zo ja, heeft dat nut? Het antwoord is in beide gevallen bevestigend, maar de motivatie van het tweede antwoord laat nog even op zich wachten. Eerst laten we zien hoe we kunnen uitbreiden tot , de verzameling van de complexe getallen.

Het complexe vlak

wordt vaak voorgesteld door een lijn, de reële rechte. Ieder getal op deze lijn komt voor in . Dat betekent: hoe we ook gaan uitbreiden, we kunnen de nieuwe verzameling niet voorstellen door een lijn. We doen daarom het volgende. We maken een assenstelsel van twee getallenlijnen, en krijgen aldus een vlak, waarmee we ook wel voorstellen, zie figuur 1. We zouden een punt in dit vlak kunnen vastleggen door zijn coördinaten a en b, en noteren (a, b), net zoals we dat met een vector in zouden doen. We doen het echter anders. We voeren een nieuw symbool i in, die per afspraak voldoet aan de vergelijking i2 = -1. Het idee is nu dat we de punten op de horizontale as als de "oude" reële getallen gaan beschouwen, en alle punten daarbuiten als "nieuwe" getallen, waarbij i een rol gaat spelen. Een punt b op de verticale as noteren we vanaf nu als bi, dus als het "product" van b en i (met de afspraak dat 0i ook als 0 geschreven mag worden). En een punt in het vlak, vastgelegd door de coördinaten a en bi, noteren we als a + bi, dus als de "som" van a en bi, zie figuur 2. Merk op dat deze notaties (nog) niets te maken hebben met vermenigvuldiging en optelling, zoals we die voor reële getallen kennen! Wel zullen we zien dat deze notaties heel handig gekozen zijn.

Het vlak dat we nu geconstrueerd hebben noemen we het complexe vlak of ook het Gauss-vlak, naar de Duitse wiskundige Carl Friedrich Gauss. De punten in dit vlak noemen we complexe getallen en de verzameling {a + bi  |  a,b } van alle complexe getallen noteren we met .

figuur1    figuur 2

We noemen de horizontale as in het complexe vlak voortaan de reële as en de verticale de imaginaire as. Omdat i zelf op de imaginaire as ligt, en wel op een soortgelijke plaats als 1 op de reële as, noemen we i ook wel de imaginaire eenheid. We gebruiken vaak de letters z, w, , ,... voor complexe getallen en x, y, a, b, ... voor reële getallen.  Als een complex getal z wordt vastgelegd door de formule a + bi, voor zekere a,b , dan schrijven we z = a + bi. Van een complex getal z = a + bi noemen we a het reële deel (notatie a = Re z of z) en b het imaginaire deel (notatie b = Im z of z). Merk op dat een complex getal van de vorm z = a + 0i (voor het gemak genoteerd als z = a) reëel is. Een getal van de vorm z = 0 + bi (voor het gemak genoteerd als z = bi) zullen we zuiver imaginair noemen. Merk ook even op dat we zojuist een belangrijk verschil geconstateerd hebben tussen en . We hebben namelijk gezien dat , terwijl we weten dat niet !  Beide verzamelingen vertonen dus veel overeenkomsten, maar ze zijn niet hetzelfde!

Rekenen met complexe getallen

Twee complexe getallen z en w heten gelijk, notatie z = w, als Re z = Re w én Im z = Im w, zoals voor de hand ligt. Laten we nu twee willekeurige complexe getallen a + bi en c + di nemen, dan definieren we als volgt de rekenkundige operaties op :

1. Som: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

2. Verschil: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

3. Product: (a + bi).(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Maar in alle drie de gevallen is dit precies wat je zou krijgen als je in de notatie z = a + bi de bi als een "echt" product beschouwt en de a + bi als een "echte" som! Zolang je in de gaten houdt dat i2 = -1, is dit eenvoudig na te rekenen. Deze definities zijn dus niet zo moeilijk te onthouden. We merken ook nog op dat allerlei rekenregels die je voor reële getallen gewend bent, ook weer gelden voor complexe getallen. We noemen er een paar (maar lang niet allemaal): laat z,w, willekeurig:

Het eerste regeltje illustreert dat optelling in net zo gaat als vectoroptelling in , zie figuur 3, volgens een parallellogram.

 figuur 3

Ook geldt voor a,b :

Deze regeltjes bevestigen nogmaals dat je bij het rekenen met complexe getallen gewoon mag doen alsof a + bi een echte som en een echt product bevat. We gaan hier verder niet in op de rekenregels; al deze regels zijn eenvoudig te bewijzen m.b.v. de definities. Wat we nog wel gaan doen (en nu ook kunnen doen) is definieren hoe we een deling van complexe getallen uitvoeren:

4. Quotiënt:  , voor c + di 0

Ga na dat ook deze definitie voor de hand ligt; gebruik daarbij wel een paar van de bovenstaande rekenregels.

Voorbeeld: (1 + i) / (1 - i) = [(1 + i) / (1 - i)] . [(1 + i) / (1 + i)] = 2i / 2 = i

Voorbeeld: i(2 + 3i) = 2i - 3 = -3 + 2i  (dus 2 + 3i wordt over 90 graden gedraaid!) 

Ook voor de deling gelden er een paar standaard rekenregels, bijvoorbeeld: z,w, :

Ook deze regels volgen eenvoudig uit de definities. Nu we de vier rekenkundige operaties hebben gedefinieerd en de belangrijke rekenregels hebben afgeleid, is het nuttig om op te merken dat we bij alle vier de bewerkingen de "oude" reële bewerking terugkrijgen wanneer we in de complexe bewerking reële getallen invullen. Zo geldt bijvoorbeeld dat (a + 0i) + (c + 0i) = (a + c) + (0 + 0)i = a + c. We kunnen nu daadwerkelijk zeggen dat ook qua rekenregels een uitbreiding is op .

Vervolgens definieren we machten van complexe getallen op analoge wijze als in het reële geval. Bijvoorbeeld: z2 := zz. We kunnen nu een resultaat boeken:

Voorbeeld: De vergelijking z2 = -2 heeft twee oplossingen in , te weten: z = -2 = (-1).() = i. Beide oplossingen liggen op de imaginaire as en zijn niet reëel.

Voor algemene kwadratische vergelijkingen van de vorm az2 + bz + c = 0 met z complex en de coëffeciënten a,b en c reëel kan de abc-formule (die analoog aan het reële geval wordt bewezen) gebruikt worden. Hierbij worden complexe oplossingen verkregen ingeval de discriminant negatief is: z = -b / 2a i[(4ac - b2) / 2a]. Deze oplossingen zijn dus elkaars gespiegelde in de reële as!

Voorbeeld: Los op: z2 - 6z + 11 = 0.

Methode 1: abc-formule! z = -(-6) / 2 [-8] / 2 = 3 i.

Methode 2: We kunnen ook kwadraat-afsplitsen: merk daartoe op dat (z - 3)2 = z2 - 6z + 9. Dus de vergelijking wordt: (z - 3)2 - 9 + 11 = (z - 3)2 + 2 = 0. Dus z - 3 = -2, waardoor z = 3 i.

Tot besluit van deel 1 nog een belangrijke stelling over polynomen van een hogere graad. We kunnen deze stelling niet bewijzen, maar vinden hem belangrijk genoeg om toch even te noemen:

Stelling: (Hoofdstelling van de Algebra): Iedere vergelijking van de vorm a0 + a1z + a2z2 + ... + anzn = 0, voor n heeft een oplossing in .

Aangezien complexe getallen ooit ontstaan zijn uit de behoefte om elke polynoomvergelijking een oplossing te geven, mogen we deze stelling gerust als een hoogtepunt beschouwen.

Naar Complexe getallen, deel 2.


[ Homepage ]