[ Homepage ]

Complexe getallen, deel 2:

Naar Complexe getallen, deel 1.

We vervolgen het verhaal over complexe getallen.

Geconjugeerde, modulus en afstand

We definiëren nu drie belangrijke grootheden. Bij berekeningen met z = a + bi blijkt het getal a - bi zo vaak een rol te spelen dat deze een eigen notatie heeft gekregen: := a - bi, de complex toegevoegde of geconjugeerde of geadjungeerde van z (uitspraak: z-geconjugeerd). In het vlak is het dus de gespiegelde van z in de reële as, zie figuur 4. In het bijzonder zijn complexe oplossingen van een kwadratische vergelijking elkaars geconjugeerde.

 figuur 4

Propositie: Er is voldaan aan de volgende regels:   z, w :

1. = +

2. =

3. z + = 2 Re z;   z - = 2i Im z;   en  z =    z    

4. z 0 en  z = 0 z = 0

5. =  z

De modulus of lengte of voerstraal of norm of absolute waarde van z = a + bi is |z| := [a² + b²], ofwel de "afstand" van z tot de oorsprong in het complexe vlak (een reëel getal 0 dus), zie figuur 5. (Dit begrip is belangrijk, hetgeen het aantal synoniemen ervoor al doet vermoeden!) Voor het gemak zullen wij deze grootheid altijd 'modulus' noemen. Voor reële getallen is de modulus natuurlijk gewoon de absolute waarde zoals we die al kennen.

 figuur 5

Propositie: Ook nu gelden een paar eenvoudig te bewijzen regels: z, w :

1. |zw| = |z||w|

2. |z + w|    |z| + |w|  en  ||z| - |w||    |z + w|   (Driehoeksongelijkheden)

3. |z|² = z

4. |z| = || = |-z|

5. |z| > 0 z 0 en in dat geval is 1/z = / |z|²

We maken nu het eerder genoemde begrip "afstand" precies: Voor z, w is de afstand tussen z en w gedefinieerd door |z - w|.

Stelling: We hebben dan z, w, :

1. |z - w| 0  en  |z - w| = 0 z = w

2. |z - w| = |w - z|

3. Stelling van Pythagoras: voor z = a + bi, w = c + di: |z - w| = [(a - c)² + (b - d)²]

4. Driehoeksongelijkheden: ||z - | - | - w||    |z - w|    |z - | + | - w|

De gedeelten 1, 2, en de tweede ongelijkheid van 3 in deze stelling laten zien dat |z - w| (inderdaad) voldoet aan de axioma's van een metriek (afstandsfunctie).

Poolcoördinaten en machten

We hebben tot nu toe een complex getal steeds vastgelegd door zijn (Cartesische) coördinaten a en b, en genoteerd a + bi. Er is echter nog een andere manier om een compex getal eenduidig vast te leggen: d.m.v. poolcoördinaten. We nemen van een compex getal z de modulus r := |z| en de hoek die het lijnstuk oorsprong-z maakt met de positieve reële as, zie figuur 6.

 figuur 6

Voor een complex getal z = a + ib geldt dan: a = r cos , b = r sin . En omgekeerd: r = [a² + b²] , = arctan(b/a). Merk op: als voldoet aan deze formules, dan voldoet ook + 2n voor alle n .We kiezen bij voorkeur die voor de modulus, zodat - < (het komt ook wel eens voor dat de voorkeur uitgaat naar 0 < 2). We noemen de waarde van deze   de hoofdwaarde van het argument van z, of kortweg het argument van z, notatie arg z. Samenvattend: de waarden van r = |z| [0, ) en = arg z (-, ] bepalen eenduidig het complexe getal z. Er is nog wel een kleinigheidje: als z = 0, dan is r = 0, maar kan iedere waarde hebben! We zullen daarom het getal 0 niet in poolcoördinaten uitdrukken.

Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan r = en = /4. Als r = 2, = 5/6, dan z = - 3 + i.

We kunnen z nu schrijven als z = r(cos + i sin ), we noemen dit de modulus-argument schrijfwijze of polaire schrijfwijze. Met deze schrijfwijze krijgen product en quotiënt van complexe getallen een nieuwe interpretatie: zij z = r(cos + i sin ), w = s(cos + i sin ), dan:

• zw = r(cos + i sin )s(cos + i sin ) = rs(cos( + ) + i sin( + )) In woorden: de modulus wordt het product van de moduli; het argument wordt de som van de argumenten. Of ook: vermenigvuldiging van z met w betekent voor z een schaling met een factor s, en een draaiing over een hoek . En voor w natuurlijk iets soortgelijks.

• z/w = r(cos + i sin ) / s(cos + i sin ) = r/s (cos( - ) + i sin( - )) (s 0) De modulus wordt het quotiënt van de moduli; het argument wordt het verschil van de argumenten.

Uit de eerste vergelijking volgt met inductie:

Stelling: (Stelling van De Moivre): voor iedere k : z^k = r^k(cos(k) + i sin(k))

Het zijn mede deze eigenschappen die aanleiding geven de volgende notatie in te voeren: eⁱ := cos + i sin voor . Deze relatie heet de formule van Euler, naar de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler die deze notatie bedacht heeft. De gedachte achter deze formule is als volgt. We kennen de e-machtsfunctie op dit moment alleen voor reële getallen, en we zijn natuurlijk vrij om een functie met dezelfde naam te definiëren voor getallen op de imaginaire as. We zullen nu zien waarom Euler's definitie een goede keus is. Allereerst merken we op: omdat het punt 0 zowel in als op de imaginaire as voorkomt, eisen we dat e⁰ := eⁱ⁰ = 1; gelukkig is dat hier inderdaad het geval. Als we vervolgens de Taylorontwikkeling van de reële e-machtsfunctie nemen en i voor de variabele invullen, krijgen we:

eⁱ = 1 + i + (i)² / 2 + (i)³ / 3! + (i)⁴ / 4! + ...

Men kan (met wat meer theorie) bewijzen dat deze som bestaat en een limiet in heeft. Wanneer we ook eens kijken naar de Taylorontwikkelingen van de reële sinus en cosinus (met variabele ),

sin = - ³ / 3! + ⁵ / 5! - ...

cos = 1 - ² / 2! + ⁴ / 4! - ... ,

dan valt ons iets verrassends op: wanneer we namelijk de reeks van cos + i sin uitrekenen door term voor term op te tellen, krijgen we na enig uitwerken precies de reeks voor eⁱ. Dus is het niet zo gek om te stellen eⁱ = cos + i sin , ook al is het voorgaande wiskundig niet helemaal correct beargumenteerd.

We hebben nu een derde schrijfwijze voor complexe getallen gevonden: z = reⁱ, als r = |z| en = arg z. We noemen dit de exponentiële schrijfwijze. De regels ten aanzien van product en quotiënt van complexe getallen in poolcoördinaten reduceren nu tot:

• reⁱ seⁱ = rs e^{i( + )} en met De Moivre: (reⁱ)^k = r^ke^ik

• reⁱ / seⁱ = r/s e^{i( - )}.

En dit soort regels zijn gebruikelijk voor de "gewone" e-machtsfunctie. We zien nu nogmaals dat je met Euler's definitie van de imaginaire e-macht een functie krijgt die zich qua regels gedraagt zoals zijn reële tegenhanger.

De functie eⁱ voldoet verder nog aan de volgende kenmerkende eigenschappen:

• eⁱ is periodiek modulo 2, ofwel eⁱ = eⁱ⁽⁺²ⁿ⁾ voor alle n

• eⁱ²  = 1  en  eⁱ = -1 (ofwel eⁱ + 1 = 0, een beroemde relatie tussen de 5 belangrijkste getallen in de wiskunde!)

Voorbeeld: Als z = 1 + i, dan z = e^i/4.

Tot slot hebben we nu de gelegenheid om een algemenere definitie van machten van een complex getal te geven: zij t en z = reⁱ, dan z^t := r^te^it.

Voorbeeld: Los op: z² = 4e^i/4.  z = [4e^i/4] = 2e^i/8. Dus oplossingen: z = 2e^i/8 of z = 2e^-7i/8

Voorbeeld: Los op: z³ = i. Equivalent is: |z|³ = |z³| = |i| = 1 én 3 arg z = arg(z³) = arg i + 2k = /2 + 2k voor iedere k . Dus r = |z| = 1 en = arg z = /6 + 2k/3. Hiermee liggen de oplossingen vast! We vinden: (vul in: k = 0, 1 en 2)  z₁ = e^i/6 = 3/2 + i/2,  z₂ = e^5i/6 = -3/2 + i/2,  en z₃ = e^3i/2 = -i. Merk op dat er niet meer dan drie oplossingen zijn, vanwege de periodiciteit van de functie eⁱ. Als je deze oplossingen in het vlak tekent, zie je dat ze de hoekpunten van een gelijkzijdige driehoek vormen.

Algemener geldt zelfs voor een vergelijking van de vorm zⁿ = (voor 0 in , n ), een zogeheten binomiaalvergelijking, dat er n oplossingen zijn en dat deze de hoekpunten vormen van een regelmatige n-hoek met middelpunt in 0. Een aardig resultaat.

Complexe functies

Het laatste begrip dat we tegenkomen in deze reis door de wereld van de complexe getallen, is het begrip functie. We kennen uit de analyse reeds functies f: . Maar we hebben nu ook complexe getallen tot onze beschikking, dus willen we graag functies definiëren van (bijvoorbeeld) de vorm f: , of nog liever van de vorm f: . Functies van het laatste type noemen we complexe functies. In het bijzonder willen we graag beroemde reële functies als exp, sin en cos uitbreiden tot een complexe functie. Een voor de hand liggende voorwaarde hierbij is uiteraard dat de "nieuwe" complexe functie beperkt tot reële getallen weer de "oude" reële functie oplevert. Voor functies opgebouwd uit de reeds gesproken bewerkingen (som, verschil, product, quotiënt en verheffing tot een reële macht) is hier keurig aan voldaan.

Voor de exponentiële functie kennen we reeds een definitie voor reële getallen en voor zuiver imaginaire getallen (waarbij de waarde in 0 "netjes" in beide gevallen 1 is). Het ligt nu voor de hand om de functie exp: voor z = a + bi als volgt de definiëren: exp(a + bi) = e^{a + bi} := (e^a)(e^ib). Voor z geeft dit inderdaad de oorspronkelijke e-machtsfunctie. We hebben nu de belangrijkste functie uit de complexe analyse te pakken. De complexe sinus en cosinus worden van deze functie afgeleid: sin z := (e^iz - e^-iz) / 2i en cos z := (e^iz + e^-iz) / 2. Ook voor deze functies geldt dat ze voor reële getallen de oorspronkelijke reële functie opleveren (al is dat in deze gevallen niet zo gemakkelijk te controleren), en dat ze voldoen aan bijna alle gebruikelijke rekenregels die we kennen voor hun reële broertjes (of zusjes).

Analoog aan het reële geval kunnen we begrippen uit de analyse zoals limiet, continuïteit, differentieerbaarheid, afgeleide, machtreeks, etc. ook weer definiëren voor complexe functies. En je voelt 'm al aankomen: bijna alle bekende regels uit de reële analyse (zoals de regels voor het differentiëren) gelden ook weer in het complexe geval!

We hebben nu onder andere gezien hoe je kan uitbreiden tot een grotere verzameling , hoe je met deze complexe getallen kan rekenen, en hoe je aan meer vergelijkingen een oplossing kan toekennen door complexe oplossingen toe te laten. Dit alles kan bij vele wiskundige problemen nuttig zijn, zelfs bij "reële problemen" waarvoor we uiteindelijk een "reële oplossing" zoeken (te denken aan bijvoorbeeld reële differentiaalvergelijkingen of reële integralen). Dat blijft voor nu wat vaag. Ik probeer in de toekomst op deze site concrete toepassingen van complexe getallen en functies te laten zien.

Link: Op deze site wel een héél opmerkelijke behandeling van de complexe getallen.

[ Homepage ]